Walter Gubler's Algebra und Zahlentheorie [Lecture notes] PDF

By Walter Gubler

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Beachte, dass wir durch π : R → R/I, x → [x] = x + I einen Ringhomomorphismus gegeben haben. Es ist hierbei offensichtlich, dass π surjektiv ist. 6. Sei ϕ : R1 → R2 ein Ringhomomorphismus von kommutativen Ringen. Dann heißt ker(ϕ) := ϕ−1 (0) der Kern von ϕ. Bei ihm handelt es sich um ein Ideal in R1 . Beweis: Ist ϕ ein Ringhomomorphismus, so handelt es sich hierbei insbesondere auch um einen Homomorphismus f¨ ur die unterliegenden additiven Gruppen. Hierauf k¨ onnen wir nun unsere Betrachtungen aus der Gruppentheorie verwenden und es folgt, dass ker(ϕ) eine additive Untergruppe von R1 ist.

10. Auch hier ist, analog zu den Gruppen, die Bijektivit¨at eines Ringisomorphismus nicht in der Definition vermerkt. Allerdings ist ein Ringhomomorphismus genau dann ein Ringisomorphismus, wenn er bijektiv ist. 1. RINGE 53 ¨ aus der Gruppentheorie, weshalb er an dieser Stelle zur Ubung verbleiben soll. 11. F¨ ur Ringe R1 , . . , Rr definieren wir das Produkt R1 × · · · × Rr als direktes Produkt der unterliegenden abelschen Guppen und mit der Multiplikation (a1 , . . , ar · br ). Damit erhalten wir wieder einen Ring.

0, 1, 0, . . , 0) ∈ R1 × · · · × Rr . 54 KAPITEL 3. 2 Ideale und Restklassenringe Im Folgenden sei R ein kommutativer Ring. h. wir wollen nun in beliebigen Ringen Restklassen einf¨ uhren. 1. Sei H eine additive Untergruppe von R. Weil (R, +) abelsch ist, folgt, dass H ein Normalteiler von (R, +) und damit R/H mit der repr¨ asentantenweise definierten Addition eine abelsche Gruppe ist (vgl. 1) ein Ring? Dem werden wir im Folgenden nachgehen. h. unabh¨angig von der Wahl der Repr¨asentanten a und b, ist.

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by Jason
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